0 引言

振动是自然界物体不可避免的重要现象之一，桥梁也不例外。对于桥梁等大型结构来说，常规设计和研究普遍只考虑线性因素的影响来分析其振动问题。但是，它的实际振动十分复杂，受到地形、地质、气候、人文、施工等各类因素的影响。这些因素很多都不符合线性规律。那么，这些被忽略的非线性因素对桥梁的振动是否具有影响，影响又有多大呢？

根据受力特点，通常将桥梁视为一个简支梁，即一端为固定铰链约束、另一端为滑动铰链约束的简支梁模型，如图1-a中的梁 AB所示。而通过桥梁的行人和车辆等其他外界因素则可视为非线性变化的外载荷。这样，服役桥梁的振动问题就可以抽象成为简支梁的强迫振动问题。

图1 简支梁AB的受力分析图

1 模型建立

如图1-b所示，梁AB在载荷q x,t的作用下发生变形。在结构上取某个微段dx进行局部受力情况分析，如图1-c，其中M为截面上所受到的弯矩，Fs为截面上所受到的剪切力，

为截面上所受到的弯矩的微量， 为截面上所受到的剪切力的微量。取梁AB的长度为L，梁AB单位长度的质量为 。可以得到如下动力学方程，

此时，我们得到的方程(7)为梁AB在载荷q x,t的作用下发生振动变形的位移方程。这个方程是一个连续体模型，可以直接体现出梁AB从左端到右端任意一点的位移。但是，这个连续体模型直接包含梁和受力的物理参数，在计算中会由于物理量的取值范围和单位的不同导致分析的繁琐。除了巨大的计算量以外，求解获取的结果在筛选时也会因为量纲的问题而引起错误的发生。所以需要把它转变成为一个不包含单位的形式进行计算和分析。

2 模型无量纲化

取最大挠度为wm,可以写出以下无量纲物理量：

将上述无量纲物理量(8)代入连续体模型方程(7)中，可以得到以下方程：

这时，我们就得到了一个通用的无量纲数学模型方程(10)，它满足的边界条件为方程(11)。但是，这个无量纲数学模型是一个偏微分方程，直接进行计算时过程复杂而麻烦。所以需要把它进一步化简成为可以直接进行简单计算的形式。

3 伽辽金离散

为了把偏微分方程形式的梁的连续体模型化简成为一个常微分方程，我们需要把它进一步进行简化和离散。我们假设方程的解为以下形式，

这样，一方面，通过受力分析、物理模型和数学模型的建立，另一方面结合偏微分形式的连续体数学模型到常微分形式的离散模型简化，我们得到了梁AB振动的常微分方程形式模型。

4 非线性特性分析

通常来说，一般物体在振动时，它的一阶主振型为主要振动形式。为了将上述方程(15)进一步简化为可以直接计算的常微分数学模型，我们在后续的讨论中只考虑了一阶振型。

当通过桥梁的行人和车辆等其他外界因素为非线性变化的外载荷，载荷q x,t表现为一般形式的非线性动载荷。将动载荷q x,t代入方程(15)计算时并不能进行简化和省略，所以可以整理得到：

上述方程中的物理量均为无量纲函数，它与实际物理量之间的关系如下：

当通过桥梁的行人和车辆等其他外界因素为随时间周期变化的均布载荷时，载荷q x,t表现为振幅不变的周期变化动载荷。将此周期变化动载荷 代入方程(15)计算时可以进行一定简化，得到：

当通过桥梁的行人和车辆等其他外界因素为不随时间变化且均匀分布时，载荷q x,t表现为静载荷。可记为常数q，则上述分析可以简化为静态分析。因此，可以舍去含 项，方程可以进一步简化为

5 结论

通过对比通过桥梁的行人和车辆等其他外界因素是否具有非线性特性，发现非线性外载荷会显著影响桥梁在振动时的变形方程和相应位移。所以在设计桥梁时必须提前考虑到有可能出现的非线性外载荷形式，并进行必要的稳固设计。

[1] 哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(第7版)[M].高等教育出版社,2009.

[2] 刘鸿文.材料力学(第5版)[M].高等教育出版社,2011.

[3] 刘延柱,陈立群,陈文良.振动力学(第2版)[M].高等教育出版社,2011.