上式已经将离散求和形式改写为积分形式，这是因为动量算符的本征值在很多情况下都是连续的。

其中h上加一横是约化普朗克常数，等于h/(2π)，h是普朗克常数。如果电子掉进了原子核里，由于原子核的尺度很小，从而电子的位置不确定度很小，相应的动量的不确定度很大，于是电子的动量在很大概率上能够使得电子逃离原子核的束缚。从这个角度讲，量子力学的不确定性原理确保了原子核的稳定性。

量子力学对现实世界的意义 能量阶梯

那么

它被称为定态薛定谔方程。满足定态薛定谔方程的态被称为能量本征态，它具有固定的能量E，且能量值是哈密顿算符的本征值。

可以用另一组符号来表示这一组基矢：

其中*号表示对波函数求复共轭。波函数空间上也存在相应的单位正交基。特别地，每一个经典物理量对应的算符的全部本征矢在归一化之后可以构成一组单位正交基(注：严格的表述是，自共轭算符的全部本征矢在归一化后构成一组完备正交基。诸如能量、动量、角动量、位置这四个常用的物理量对应的算符都是自共轭算符)。比如，对于动量算符，它的本征矢满足

对于不同的E，会得到不一样的f(t)，以及不一样的波函数空间部分。因此，对波函数添加下标E以示区别。从而原来的波函数可写为

因此，只需要求出所有的ψ_E即可得到一般的波函数。ψ_E满足的方程为

注意这里为方便，使用的是高斯单位制。当需要使用国际单位制时，只需在出现e^2处乘以库伦定律的比例系数即可。单位制的选择不影响讨论的结果。

如果考虑存在势场U(x,t)的情况，那么粒子的总能量就要包含势能。为此，引入如下能量算符：

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

单位基矢为

波函数的物理意义是什么呢？假如利用薛定谔方程求解得到波函数，能做出什么物理预言呢？这就涉及到量子力学的诠释了。目前物理学界的主要观点是统计诠释，波函数的模方等于测量粒子位置时测量结果的概率分布。因此，波函数需要满足归一化条件：波函数模方在全空间的积分等于1，代表的是在全空间内找到粒子的概率为1。可归一化是一个很强的条件，很多量子化的来源都是波函数的可归一性质。“波函数是一个单值的、处处连续的、可归一化函数”，总结成简单的口诀，就是波函数“单值、连续、可归一”

当然，单位正交基可以存在很多，比如球坐标的基矢也可以作为一组单位正交基，在这组基矢下位置矢量可以表示为

这个公式与实验结果符合得非常好。

对于听众提出的“怎么通过氢原子的基态验证不确定性原理”的问题，考虑到本次课程主要讲了量子力学的一些基础知识，还未对氢原子进行求解，张朝阳只对这个问题作了半定量的回答。氢原子的尺度为玻尔半径

借着能量标度的概念，张朝阳介绍说元素周期表是化学周期表，对应的是化学过程。虽然同位素的中子数不一样，但是因为带有相同数量的质子，导致核外电子结构几乎一致。化学反应主要由核外电子决定，所以同位素的化学性质几乎一样。但是在物理上，同位素对应的原子不是同一种粒子，它们的物理性质可能差别很大。比如，对比放射性元素铀-235和铀-238，在核裂变和链式反应方面，两者差别明显，一般用铀-235作为核反应的原料。